Jan Wedeven
Groningen, 22 nov. 2003
Paul,
Het proefwerk gaat eigenlijk over het opsommen van mogelijkheden, combinatiemogelijkheden, in verschillende situaties. Je moet steeds uitrekenen hoe hoog het aantal mogelijke combinaties uitvalt in de gegeven situatie.
Je neemt als gegeven: een verzameling van bepaalde eenheden, bijv. een klas met leerlingen, of alle bewoners van een eiland, of de koeien die in een stuk wei staan, of een reeks letters, of zelfs een reeks getallen, of de hele wereldbevolking.
[Het gaat er dit keer niet om, ingewikkelde berekeningen te maken met behulp van die eenheden. Dat zou je bijvoorbeeld kunnen doen door te werken met allerlei variabelen, dat zijn eigenschappen (bijv. lengte, of hoeveelheid geld, of het “getal” x, het gewicht van iets, de waarde van iets enz.). Je kan dan berekeningen uitvoeren waarbij je gebruik maakt van wiskundige formules. Dat kan erg handig zijn om iets te onderzoeken of uit te rekenen. Bijv. twee vergelijkingen met twee onbekenden of uitrekenen welke waarden x kan aannemen in bijv. een vierkantsvergelijking: F{x}= ax2 + bx +c. Enz.
Wiskunde is eigenlijk een woord voor oplossingsstrategie. Wis en waarachtig.]
We gaan nu meer statistisch te werk. Je wilt turven wat er zoal te koop is aan mogelijkheden. Als een bioloog met een verrekijker, of als een spelleider die alles goed wil laten verlopen.
In jouw wiskundeboek worden dit soort vraagstukken en de bijbehorende oplossingen uitgelegd met voorbeelden. Het voordeel is dat je er meteen praktisch mee gaat werken. Het is niet eenvoudig (maar wel mogelijk) om definities te geven van de nodige begrippen. (De schrijver van het boek wil niet al te ingewikkelde taal gebruiken zodat niemand er meer iets van snapt. Toch kan het hier en daar wel wat duidelijker beschreven worden. Het blijft steeds iets vaags houden als je het alleen maar leest. Het is dus belangrijk om te oefenen.
De driehoek van Pascal – dit is geen driehoek zoals in de meetkunde (!), maar een schema, een diagram, dat de vorm heeft van een driehoek. Het is niet moeilijk te zien hoe zo’n ding in elkaar zit en hoe het werkt. Je kunt er van alles mee doen. Het heeft iets van goochelen met een goocheldoos.
In een vraagstuk waarin je het aantal combinatiemogelijkheden moet berekenen, gaat het uiteindelijk altijd om een reeks getallen die onderling vermenigvuldigd moeten worden.
Die combinatiemogelijkheden krijg je doordat er een selectie gemaakt wordt uit een of andere verzameling. De bedoeling is dat je de omvang van zo’n selectie uitrekent met behulp van zo’n vermenigvuldiging uit die Verm. Regel, anders zou je uren bezig zijn met turven – dus één voor één alle mogelijkheden noteren en optellen. (Je ziet hier dat vermenigvuldigen eigenlijk oorspronkelijk een vorm van optellen is: 4 + 4+ 4+ 4 = 4 x 4)
Het komt erop neer dat je soms
- allemaal gelijke getallen met elkaar vermenigvuldigt – dat is gewoon machtsverheffen,
- of verschillende getallen, maar die samen een netjes aflopende reeks vormen:
8, 7, 6, 5 of 8, 7, 6 …tot en met 1. Zo’n vermenigvuldiging heet “faculteit”. (zie verderop)
Er zijn dus verschillende varianten van de vermenigvuldigingsregel, verschillende vormen waarin die voorkomt. Je moet natuurlijk goed door hebben wanneer je welke manier, variant, moet toepassen. Daar geeft jouw boek ontzettend veel voorbeelden van.
Op blz. 68, 84 en 79 staan belangrijke definities of pogingen daartoe.
Als je verschillende mogelijkheden (zoals versch. variëteiten of variaties, vormen, of toestanden, variabelen) aan elkaar koppelt als een serie, een serieschakeling a.h.w., dan kom je gewoon aan het aantal mogelijke combinaties door de aantallen te vermenigvuldigen. Aantallen, dat zijn dan de aantallen van de verschillende variabelen die worden toegepast,. of van de mogelijkheden die zich voordoen. Er zijn een aantal verschillende mogelijkheden, waar je mee te maken hebt, die worden gecombineerd.
Het zal vaak gaan om een aantal opeenvolgende handelingen die worden gecombineerd, en anders kun je je wel iets dergelijks voorstellen. Een combinatie van twee of drie eigenschappen is ook mogelijk.
Copyright © 2003 - 2017 mr. J. Wedeven, Groningen