Home Essays Muziek Huiswerkbegeleiding Varia E-mail

Wiskundeproefwerk van Paul (2)

Jan Wedeven

Groningen, 22 nov. 2003

Afgelopen zondag hebben we vooral het selectieprobleem bekeken dat je met de formule van blz. 97 kan oplossen.

Om te snappen waarom deze formule het probleem oplost, dat wil zeggen, om te snappen waarom je met deze formule het totale aantal mogelijke combinaties uit kan rekenen in het geval van een selectie, moet je eerst een paar wiskundige begrippen begrijpen. NB: Er is hier geen onderlinge rangorde van de elementen in de deelverzameling die door de selectie ontstaat, in elk geval geen rangorde die ter zake doet: de volgorde doet er helemaal niet toe.

*Ten eerste het begrip permutatie:
Definitie: een permutatie is een manier van rangschikken van een gegeven aantal elementen.
Anders gezegd: een bepaalde rangschikking van een gegeven aantal grootheden, eenheden, of elementen, dat is een permutatie.
Het gaat er bij permutaties vooral om, het aantal permutaties te bepalen in een gegeven situatie.

*Ten tweede het begrip faculteit:
Definitie: een faculteit is het totale product van een hele rij natuurlijke getallen die samen een aflopende reeks vormen tot en met 1.
‘Vijf faculteit’ = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1.

Stel, je hebt een verzameling van een aantal (n) elementen, bijvoorbeeld vijf personen in een klas.
Dan is het aantal permutaties van die elementen dus (gelijk aan) het totale aantal manieren waarop die elementen kunnen worden gerangschikt. Eén zo’n rangschikking is 1 permutatie.
Dit aantal is precies gelijk aan wat je krijgt als je n! uitrekent.
Dus in de verzameling van n elementen is n! gelijk aan het aantal mogelijke permutaties van die elementen, de hele optelsom.

Bij 5 elementen zijn er dus 5 x 4 x 3 x 2 x 1 permutaties oftewel 5!

Waarom is dat eigenlijk zo?
Als je twee elementen hebt, A en B, dan zijn er 2 permutaties: AB en BA.
Bij drie elementen: A, B, en C, zijn er 6 permutaties. Daar kun je achter komen door alle mogelijke combinaties, dwz alle verschillende volgordes te noteren en ze daarna te tellen. Dat is nog aardig veel werk. Een echte wiskundige doet dat anders. Hij maakt gebruik van het begrip faculteit.
Je krijgt het aantal mogelijkheden door 3 x 2 x 1 te berekenen. Dat is dus 3!
Bij vijf elementen, of bijv. personen in een klas, krijg je 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 20 x 6 = 120 permutaties.
Neem je toch maar weer even 3 personen, dan levert het dus 6 mutaties op. Ze kunnen op 6 manieren op een rijtje gaan staan.

[Nota Bene:
Waarom? – Omdat elk van de drie afzonderlijk, zich op twee manieren kan samenvoegen met de overige twee, Bijv. A gaat voorop staan naast B en C, en vervolgens bij C en B (in die volgorde). Alle mogelijkheden, alle volgordes, tellen mee.
Algemeen: uitgaande van A, kan A gecombineerd worden met de rest, dat zijn B en C in dit geval, dus op twee manieren: (AB en AC); maar dat geldt nu weer voor alle drie: A, B, en C. (A wordt dan vervangen door respectievelijk B en C). Dus die hele gang van zaken kun je verdrievoudigen zodat je krijgt: 3 x 2 (x 1). En dat is te noteren als 3!]

*Ten derde het begrip combinatie:
In zijn bijzondere wiskundige betekenis is een combinatie:
(per def.:) één van de mogelijkheden / manieren om een deelverzameling (r) samen te stellen uit een totale verzameling (n), zonder te letten op de volgorde, dwz de rangorde van de elementen van die deelverzameling. De volgorde doet er niet toe, telt niet mee. Een deelverzameling is natuurlijk hetzelfde als een selectie.

Het gaat er haast altijd om het aantal mogelijke combinaties te berekenen.
In de formule van blz. 97 (“n boven r”) wordt het totale aantal mogelijke combinaties berekend bij een selectie uit n elementen, met dien verstande dat het bij die selectie totaal niet van belang is in welke volgorde de geselecteerde elementen / eenheden komen te staan.
De formule, waar we aardig mee hebben zitten oefenen samen, is van toepassing in de volgende situaties:
Er wordt een gedeelte afgesplitst van een groep om die afgesplitste groepsleden (of elementen, bijv. met letters aan te duiden) een speciale positie toe te kennen (gunstig of ongunstig, dat maakt op zich niet uit natuurlijk). Je maakt een selectie.
(We noteren alvast dat het aantal mogelijke selecties, dat is dus het totaal van alle selecties die je (achtereenvolgens) kunt maken uit de hele verzameling (n), behoorlijk groot kan zijn maar minder groot dan het totale aantal permutaties van die hele verzameling (n).)
NB:
Nog even voor de duidelijkheid: wat is nou eigenlijk r in de formule, waar staat r voor? Het getal genaamd r is het aantal eenheden dat je wilt gaan selecteren, afsplitsen, afzonderen, van de totale verzameling van alle elementen. Je zou dus kunnen concluderen dat n > r, altijd.

Als je een groep van 5 hebt (n = 5), zou je er twee personen uit kunnen selecteren: r = 2. Dat kan op een bepaald aantal manieren. De groep = ABCDE. Je kunt een selectie maken bestaande uit A en B, of: uit A en C enz. Je wilt alleen weten hoeveel mogelijkheden er zijn. Meer wil je niet weten. Het is dus niks anders dan een ingewikkeld telprobleem.

Laten we zeggen dat een groepje van vijf mensen een project wil laten doen door twee van zijn leden. Twee moeten worden uitgekozen. Ze willen eerst graag eens weten hoeveel mogelijkheden er zijn om deze selectie te maken, als allen zich kandidaat stellen. Het is nogal logisch dat de volgorde waarin deze twee gegadigden/’projectontwikkelaars’ worden uitgekozen of gepresenteerd, er niets toe doet.
Maar om deze ingewikkelde berekening te maken, blijkt het toch heel handig te zijn om van permutaties, dus van faculteitenrekening gebruik te maken. En daarbij telt alles steeds wel mee, alle denkbare mogelijkheden, die zogeheten permutaties.
Om dit te begrijpen, zou je je bij dit voorbeeld de volgende procedure (gang van zaken) voor kunnen stellen:

Meneer A wordt aangewezen en hij splitst zich af. Nu zijn er nog 5 -1 = 4 kandidaten over, die allemaal een even grote kans hebben zich bij A te voegen. Echter, elk van de vijf had als eerste kunnen zijn aangewezen. Dus elk van die 5 mensen, ieder afzonderlijk, had zich kunnen samenvoegen met één van de vier overgebleven kandidaten, of eigenlijk nog beter: overblijvende kandidaten. Zo kan je doorredeneren, vergelijkbaar met de redenering in de tekst hierboven, bij [Nota Bene: …].

Als je nu ook nog weer even bekijkt wat er staat in deze tekst vlak boven [Nota Bene: …] dan zie je dus dat het blijkbaar handig is, gebruik te maken van permutaties van n.
En ook van r, dus van faculteitenberekeningen.
Bij die berekeningen van aantallen permutaties tellen alle volgordes juist wel mee; maar daarom wordt er in de uiteindelijke formule een stevige vermindering aangebracht op n!. Dat gebeurt door n! te delen door het getal in de noemer. De formule is een wiskundige vinding *) die niet op zichzelf begrijpelijk is, maar wel heel goed hanteerbaar. We zagen dat, je kunt de rekenmachine erop loslaten! En klaar is Kees.

*) In het boek wordt het afleiden van de formule, de bewijsvoering, nogal knullig afgedaan met een getallenvoorbeeld. Daarbij neemt de schrijver meteen al als uitgangspunt “het aantal permutaties van 4 uit 7”, zijnde 7x6x5x4. Maar dat moet nou juist eerst worden aangetoond, dat dat zo is! Als ik jouw leraar op school was, zou ik een boze brief naar deze schrijver sturen.

De overige opgaven van dit hoofdstuk gaan over heel andere telproblemen, oftewel opsommingsvraagstukken. Daarbij gaat het om hoeveelheden in iets eenvoudiger situaties, die veel eenvoudiger zijn te berekenen. Soms gewoon het aantal permutaties (dat zijn dan alle denkbare combinatiemogelijkheden: dat wil zeggen inclusief de combinaties die precies gelijk zijn van samenstelling, maar wel van elkaar verschillen door verschillende volgordes van de elementen), soms machtsverheffen (het aantal mogelijkheden bij multiplechoice), soms n faculteit, dus n! , soms is het listig om de driehoek van Pascal te benutten, bij competities maak je een rooster; een wegendiagram slaat vaak op iets als p x q x r, als een product van getallen. Schaakvarianten vormen een boom, maar dat loopt al snel uit de klauw.

Tot slot, beste Paul, het is nogal wat zo alles bij elkaar; een behoorlijk grote klus, om je dat allemaal in no time eigen te maken. Lijkt me niet gemakkelijk. Ik hoop dat dit het wat duidelijker maakt, de stof. Het lijkt me dat ook als je het niet in een keer haalt, dit proefwerk, je toch iets hebt aan deze uitgebreide toelichting,

Succes,
Jan

PS - is je iets niet duidelijk, dan kan je me bellen.