Wiskunde

      door Jan Wedeven

Definities:

Een punt:
Een punt is een plaats, een plek, ergens in de ruimte, ergens op een lijn, of ergens in een plat vlak (bijvoorbeeld in een vierkant).

Een punt heeft geen lengte of breedte, heeft ook geen gewicht of inhoud, het is alleen de aanduiding van een plaats, zoals wanneer je met een pijl of aanwijsstok iets aanwijst, bijv. op een landkaart. Een punt is dus iets abstracts. Je geeft het aan met een klein kruisje of een duidelijke stip.

Voorbeeld van een punt:
“De oorsprong”, dat is de kruising tussen de X-as en de Y-as: (0,0). Van daaruit kan je alle andere punten, lijnen, enz. aangeven, bepalen.

[Als je ‘ruimte’ als uitgangspunt neemt, gaat er ook nog een derde as (Z-as) door de oorsprong heen, loodrecht op het vlak van de X-as en de Y- as. Tenminste, dat kun je je zo voorstellen. De oorsprong is dan (0,0,0).
Maar met zo’n driedimensionaal coördinatenstelsel hoeven we niet te werken.]

Nog een alg. voorbeeld van een ‘punt’:
(x’,y’) = een willekeurig punt, in het vlak dat wordt gevormd door twee assen: twee loodrecht op elkaar staande lijnen, de X-as en de Y-as.
x’ en y’ zijn dan de coördinaten van het willekeurig gekozen punt, binnen het coördinatenstelsel (dwz binnen ‘het vierkant’ van de x-as en de y-as).

Om nog een concreet voorbeeld van een punt te noemen: het punt (2, 3):
dat is dus het punt, dat twee stappen vanaf (0,0) horizontaal naar rechts, en vervolgens drie stappen verticaal naar boven ligt.
Horizontaal: je loopt langs de x-as, vanaf 0 naar rechts of naar links, in dit geval naar rechts. Verticaal: je wandelt langs (of evenwijdig aan) de y-as omhoog of naar beneden, in dit geval omhoog.

Een getal kun je je voorstellen als een punt op de getallenrechte. De waarde van dat getal kun je je vervolgens voorstellen als de afstand van dat punt tot de 0 ( de nul) op de getallenrechte (dat is de X-as).
Als je het heel concreet wilt maken, stel je je voor dat je een lineaal met centimeterverdeling legt langs de X-as. Heb je dan een punt genomen op de X-as, dan meet je automatisch de afstand van dat punt tot aan (0,0).

Een lijn:
Een lijn is een verzameling punten die op een rechte lijn liggen, en die dus samen een rechte lijn vormen.
Een lijn is oneindig lang, heeft geen ‘hoogte’ of breedte, maar alleen lengte (en die is eindeloos).

Voorbeeld van een lijn:
De getallenrechte; dat is de lijn waarop alle getallen liggen gerangschikt vanaf 0, groter dan 0 of (de andere kant op) kleiner dan 0.

Ander voorbeeld van een lijn: de x-as of de y-as.

Nog een voorbeeld: y = 2x + 5
Wat rechts staat van de “=” , 2x + 5, is niks anders dan een reeks getallen. Een bewerking van x (- één of ander sommetje met x erin) noem je dus gewoon y.

Het is een bewerking van x, dwz een rekensom met een onbekend getal x. Die reeks ontstaat door steeds een ander getal voor x in te vullen..
Wat er dan uitkomt iedere keer, is een bepaald getal, een bepaalde waarde. Dat getal is tegelijk ook de waarde van y die dus bij die bep. waarde van x hoort.

y is (een ander woord voor) de afstand tot de x-as.
Al die waardes van het sommetje 2x + 5 (getallen) bij elkaar vormen een verzameling, een lijn: allemaal punten met zulke coördinaten, dat ze op die lijn liggen. Want -in dit geval- vormt die hele verzameling genaamd 2x+ 5 een rechte lijn. Dat geef je aan in de wisk. door te zeggen 2x + 5 = y. Want dan werk je blijkbaar met een x-as en een y-as.

Als je voor x invult 0, dus stel x = 0, dan is de uitkomst 2 x 0 + 5 = 5
dus als x = 0 dan is 2x + 5 = y = 5
en als x = 1, dan is 2x + 5 = y = 2 x 1 + 5 = 7; enz.

Zo kan je dan ook de x-as aangeven als de lijn y = 0 En de y-as kan je aanduiden als de lijn x = 0.

Dat is dus alleen waar, wanneer je ervan uit gaat dat je een x-as en een y-as had. Anders staat er alleen maar dat x gelijk is aan 0 of dat y is nul.

Concreet: je gaat er even van uit dat je die assen had getekend, geconstrueerd, en dus ‘verondersteld’. Als y = 0 , dan zegt dat niets over wat voor waarde x heeft, al die getalswaarden van x, zoals bijv 0, 1, 2, 3, of bijv. 0, 001, 0, 002 enz., of bijv. -1/3, - 1/4, enz. zijn mogelijk.

Voor al die getalswaarden geldt dat ze bovenop de x-as liggen, tenminste zolang y = 0, dus dat wil zeggen zolang de afstand tot de x – as is gelijk aan nul. Als bijv. y =10 en x = 3 dan ligt het punt niet op de x-as maar 10 stappen omhoog, evenwijdig langs de y-as omhoog.

Zie je nu bijvoorbeeld, dat je x = 3 kunt afbeelden als een lijn evenwijdig aan de y-as op een afstand tot de y-as van 3?

N.B.: y = x is –stelt voor- de diagonaal van de rechte hoek van x-as en y-as.

Het getal x:
In de wiskunde is x de aanduiding van een getal dat je niet kent, maar dat je wilt berekenen.

Over het getal x:
(x is een letter, maar die letter duidt een getal aan). Omdat x een onbekend getal is, ga je er eerst maar vanuit dat x alles kan zijn, elk denkbaar getal. Daarom betekent de uitdrukking “alle x”: iedere waarde die x kan aannemen.

Als je het op die manier bekijkt, kan je ook zeggen: x is variabel. x = een variabele, iets dat kan veranderen van waarde, iets wat een willekeurige waarde aan kan nemen.

Een vlak:
een oppervlak ontstaat wanneer je vanuit een punt op een lijn een tweede lijn tekent, construeert.

Twee verschillende lijnen snijden elkaar, of ze lopen evenwijdig, een derde mogelijkheid is er niet. (Dat is zo omdat ze eindeloos lang zijn.)

Een mooi voorbeeld is natuurlijk de x-as en de y-as die samen een eindeloos uitgestrekt plat vlak maken.

Voorbeelden van (bijzondere) figuren in dat platte vlak zijn: De driehoek, gelijkzijdig, gelijkbenig, rechthoekig of onregelmatig, het vierkant, de rechthoek, de ruit, de vlieger, het trapezium, de cirkel, de ovaal, of een combinatie van die figuren, of een onregelmatige figuur. Voor de berekening van de oppervlakte heb je formules, zoals 2 x pi x r x r = de oppervlakte van een cirkel met straal r. (pi = een raar getal).

Nog een voorbeeld van iets dat alleen in een plat vlak kan bestaan: Een parabool, bijv. y = x² [x in het kwadraat *]

Als je het punt (1,1) neemt, dan vormt dat punt samen met de kleine lijnstukken op de x- as en de y-as [van 0 tot 1] en de lijntjes er naartoe, een vierkant, en met bijv. (2,3) krijg je een rechthoek.

Figuren in de ruimte, ruimtelijke figuren zijn bijv.:
kubus, blok, kegel, cilinder, bol, prisma, enz., combinaties, of een willekeurig voorwerp.
Die figuren hebben een inhoud, bijv. lengte x breedte x hoogte bij een blok of bij een kubus; (bij een piramide, hoe kom je aan de inhoud?)

Hoeken
Alle mogelijke hoeken kun je krijgen wanneer je een cirkel maakt met straal r, plus nog een keer de straal. De tweede straal vormt in het middelpunt van de cirkel een hoek met die andere straal. Waarom bestaat een cirkel uit 360 graden? Dat is ooit afgesproken, ze hadden ook 100 graden of 1000 kunnen nemen. (De arabieren hadden een ander getallenstelsel. Daar komt het van. Daarom is bijv. ook een uur niet 100 minuten of zoiets, maar 60, en een minuut duurt geen 10 of 100 sec. maar 60).

Tangens, sinus en cosinus.
Dat zijn getallen, waarden, die rechtstreeks afgeleid zijn van de grootte van een hoek.
Bijv de tangens van een bepaalde hoek blijkt te zijn: 3,475901.
Dat doe je – dat reken je uit - door een driehoek met een rechte hoek te construeren, dan twee lijnstukken te nemen, en dan de lengte van het ene te delen door de lengte van het andere lijnstuk. Je snapt wel dat je op die manier hele onregelmatige getallen kan krijgen.
Je hebt wel bepaalde hoeken, speciale hoeken die mooie getallen opleveren, zoals 45, 60, 30 of soms 90 graden.

* In het kwadraat betekent eigenlijk: in het vierkant. Als je een getal met zichzelf vermenigvuldigt, krijg je meetkundig gezien een vierkant.

Copyright © 2017 mr. J. Wedeven, Groningen